8. 座標参照系

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目的:

座標参照系を理解する

キーワード:

座標参照系(CRS)、地図投影法、「その場で」投影、緯度、経度、北距、東距

8.1. 概要

「地図投影」は、地球の表面や地球の一部を平らな紙またはコンピュータ画面に描写しようとします。 簡単に言い換えると、地図投影は地球を球形(3D)から平面形(2D)に変換しようとします。

「座標参照系」(CRS)は、GISに投影された二次元の地図が、地球上の実際の場所とどのように関係するのかを定義します。使用する地図投影とCRSは、対象範囲、分析範囲およびデータの有効範囲により決定されます。

8.2. 地図投影法の詳細

地球の形を表現する従前の方法は,球体を使う方法です。しかしながら,この方法には問題があります。球体は地球の形状の大半を保持し,大陸の大きさという空間的特徴を表すが,ポケットにしまって持ち歩くのは大変難しい。それは,相当な小縮尺(例えば1:100,000,000)で使うときのみ便利です。

GISアプリケーションで一般に使われる大部分の主題地図データは,かなり大きい縮尺です。典型的なGISデータセットは,1:250000かそれより大きいです。このサイズの球体は,製作するのが高価で難しく,持ち歩くのも困難です。このため,地図制作者は,球状の地球を二次元でかなり正確に表す 地図投影法 と呼ばれる技術を発展させてきた。

近距離で見ると、地球は比較的平坦に見えます。しかし、宇宙から見ると、地球は比較的球形であることがわかります。地図は、次の地図制作の話題の中で見られるように、現実の表現です。それらは、地物だけでなく、地物の形状と空間配置を表すように設計されています。各地図投影法には 長所短所 があります。地図の最適な投影法は、地図の 縮尺 がどれほどで、それが使用される目的が何であるかによって変わります。たとえば、ある投影法は、アフリカ大陸全体の地図作成に使用すると許容範囲外の歪みが生じるが、自国内での 大縮尺(詳細)地図 には優れた選択肢となります。地図投影法の性質は、地図のデザイン面に何かしら影響する場合もあります。投影法は、小領域に適するものあれば、東西に大きく広がる地図領域に適するもの、南北に大きく広がる地図領域に適するものもあります。

8.3. 地図投影法の大きな3つ

地図投影法の作成方法は、透明な地球儀の中に光源を置き、その上に不透明な地物を配置するのが最も分かりやすい。そして、その地物の輪郭を2次元の平らな紙に投影します。地球儀を 円筒形円錐形 、あるいは 平面 で囲むなど、さまざまな投影する方法を作ることができます。これらの方法はそれぞれ、 地図投影族 と呼ばれるものを作り出します。したがって、 平面投影 の族、 円筒投影 の族、および 円錐投影 の族が存在します( 図 8.3 参照)

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図 8.3 3つの地図投影の族。それらは)円筒投影、b)円錐投影、c)平面投影と表せます。

今日では、もちろん、平らな紙片に球状の地球を投影するプロセスは、幾何学と三角法という数学的原理を用いて行われます。これは、地球を通過する光の物理的な投影を再現します。

8.4. 地図投影の精度

地図投影は決して球体の地球を絶対的に正確に表現しているわけではありません。地図投影プロセスの結果、すべての地図は、 角度整合、距離、面積の歪み を示します。地図投影は、これらの特性のいくつかを組み合わせることもあれば、面積、距離、角度整合のすべての特性を、ある許容範囲内で歪める妥協案とすることもあります。妥協した投影法の例として、 ヴィンケル図法ロビンソン図法図 8.4 参照)があり、これらは世界地図の作成と視覚化によく使われます。

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図 8.4 ロビンソン投影は面積、角度整合と距離の歪みが許容される妥協点です。

地図投影で同時にすべての特性を維持するのは通常不可能です。これは、正確な分析操作を実行したい場合、分析のための最良の特性を与える地図投影を使用する必要があることを意味します。たとえば地図上で距離を計測する必要がある場合は、データに対して距離精度が高い地図投影を使用してみてください。

8.4.1. 正角性を持つ地図投影

球で作業する場合、羅針図の主な方向(北、東、南、西)は常に相互に90度で発生します。言い換えれば、東は常に北へ90度の角度で発生します。正しい 角度性質 を維持することは地図投影上でも保存できます。正角性のこの性質を保持する地図投影は 正角 または 等角投影 と呼ばれます。

これらの投影は、 角度関係の保存 が重要な場合に使用されます。一般的には、航海や気象の仕事に使われます。ただし、地図上で真の角度を保つことは、広い範囲では困難であり、地球の小さな部分でのみ試みるべきであることを覚えておく必要があります。正角型の投影では、面積の歪みが生じます。つまり、地図上で面積を測定すると、不正確な値になります。面積が大きければ大きいほど、面積の測定は正確ではなくなります。例としては、 メルカトル図法図 8.5 にあるように)と ランバート正角円錐図法 があります。米国地質調査所では、地形図の多くに正角図法を使用しています。

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図 8.5 メルカトル図法は、例えば、角度関係が重要である場合に使用されるが、面積の関係が歪んでいます。

8.4.2. 正しい距離を持つ地図投影法

地図を投影する際に、距離を正確に測定することが目的であれば、距離をよく保存するように設計された投影法を選択する必要があります。このような投影は、 正距図法 と呼ばれ、地図の スケール一定に保たれる ことが必要です。地図は、投影の中心から地図上の他の場所までの距離を正しく表現しているとき、正距であると言えます。 正距図法 は、投影の中心から、あるいは与えられた線に沿って、正確な距離を維持します。これらの投影は、電波地図や地震動図、航法に使用されています。 プレートカレ正距円筒図法図 8.6 参照)と 正距円筒図法 は正距図法の良い例です。 正距方位図法 は国連の紋章に使われている射影です( 図 8.7 参照)。

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図 8.6 正確な距離測定が重要であるときは、例えばプレートカレ等距円筒投影が使用されます。

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図 8.7 国際連合のロゴは正距方位図法が用いられています。

8.4.3. 正しい面積を持つ投影法

地図に描かれた区域が地球上の区域と同じ比率になるように地図全体に領域を描く場合、その地図は 正積図 となります。実際のところ、一般的な参考地図や教育用地図では、 正積図法 を使用することがほとんどです。その名の通り、この地図は面積の計算が主な計算である場合に最適です。例えば、あなたの町のある区域に新しいショッピングモールを作るのに十分な広さがあるかどうか分析しようとする場合、正積図法が最も適しています。一方、分析する区域が広ければ広いほど、他の種類の投影法ではなく、等積図法を使えば、より正確な面積測定が可能になります。一方、大きな面積を扱う場合、正積図法は 正角性の歪み を生じさせます。正積図法を使うとき、小さい面積の場合は角度の歪みが少ないです。 アルベルス正積ランベルト正積モルワイデ正積円筒図法図 8.8 で示す)は、GIS作業でよく出会う正積図法の種類です。

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図 8.8 モルワイデ等積円筒投影は、例えば、地図化された領域はすべて、地球上の領域に同一の比例関係を有していることを保証します。

地図投影は非常に複雑なトピックであることに留意してください。世界的な利用可能な異なる投影法は何百もあり、それぞれが紙の平らな部分にできるだけ忠実に地球の表面の特定の部分を描写しようとします。実際にどの投影を使用するかは多くの場合、ご自身のために選択されます。ほとんどの国では一般的に使用される投影があり、人々はデータを交換するとき 全国的傾向 に従います。

8.5. 座標参照系(CRS)の詳細

地球上のあらゆる場所は、座標参照系(CRS)の助けを借りて、座標と呼ばれる3つの数字のセットで指定できます。一般にCRSは 投影座標系 (デカルト又は直角座標系とも呼ばれる)と 地理座標系 に分類できます。

8.5.1. 地理座標系

地理座標参照系を使用することは非常に一般的です。それらは、地球の表面上の位置を記述するために緯度および経度と、時には高さ値を使用しています。最も一般的なものは WGS 84 と呼ばれています。

緯線 は赤道と平行に走り、地球を北から南(または南から北)へ180等分しています。緯度の基準線は赤道で、各 半球 は90のセクションに分けられ、それぞれが緯度の1度を表します。北半球では、赤道上の0度から北極の90度までが緯度として測られます。南半球では、赤道上の0度から南極点の90度までが緯度です。地図のデジタイズを容易にするため、南半球の緯度には負の値(0〜-90°)が割り当てられることが多くあります。地球上のどこにいても、緯度線間の距離は同じです(60海里)。絵で見るには 図 8.9 を参照してください。

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図 8.9 緯線は赤道に平行で、経線は本初子午線がグリニッジを通る地理座標系。

経線 は、一様性という基準にはあまり適いません。経線は赤道に対して垂直に走り、極点で収束します。経線の基準線(本初子午線)は北極から南極まで、イングランドのグリニッジを通っています。それ以降の経線は、本初子午線から東または西に0度から180度までの範囲で測定されます。本初子午線より西側は、デジタルマッピングアプリケーションで使用するために負の値が割り当てられていることに注意してください。絵による説明は 図 8.9 を参照してください。

赤道で、そして赤道のみで、経度の線で表される距離は緯度1度で表される距離に等しくなります。極の方に移動するにつれ経線間の距離は徐々に小さくなっていき、ちょうど極の位置になると経度の全ての360°は単一の点で表現され、上に指を置くことができるでしょう(手袋を着用したくなるでしょうが )。地理座標系を使用すると、赤道では約12363.365平方キロメートルを覆う正方形に地球を分割する線格子を得られます、---手始めには良いですがその正方形内の何かの位置を決定するのにとても使い易いものではありません。

真に有用であるためには、地図の格子は、(精度の許容レベルで)地図上の点の位置を記述するために使用できるように、十分小さな部分に分割されなければなりません。これを達成するために、度は ' )と " )に分割されます。1度は60分、1分は60秒です(1度は3600秒)。したがって、赤道では、緯度または経度の1秒= 30.87624メートルです。

8.5.2. 投影座標参照系

2次元の座標参照系は、一般に2本の軸で定義されます。互いに直角で、いわゆる XY平面 を形成します( 図 8.10 の左側を参照)。横軸は通常 X と表示され、縦軸は通常 Y と表示されます。3次元座標参照系では、通常 Z と表示されるもう1つの軸が追加されます。この軸も**X**軸と**Y**軸に直角です。Z 軸は空間の 3 番目の次元を提供します( 図 8.10 の右側を参照)。球面座標で表されるすべての点は、X Y Z 座標で表すことができます。

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図 8.10 二次元と三次元の基準座標系。

南半球(赤道南)での投影座標参照系は通常、特定の 経度 で赤道にその原点を有しています。これは、Y-値は南に増加し、X-値は西に増加することを意味します。北半球(赤道北)でも、原点は特定の 経度 での赤道です。しかし今度は、Y値は北に増加し、X-値は東に増加します。次のセクションではしばしば南アフリカについて使用されるユニバーサル横メルカトル(UTM)と呼ばれる投影座標参照系を記載しています。

8.6. ユニバーサル横メルカトル(UTM)CRS詳細

ユニバーサル横メルカトル(UTM)座標参照系は、特定の 経度赤道 上に原点を持ちます。ここで、Y値は南に向かって増加し、X値は西に向かって増加します。UTM CRSは世界地図投影法です。つまり、一般的に世界中で使用されています。しかし、上記の「地図投影の精度」の項で既に述べたように、面積が大きくなればなるほど(例えば南アフリカ)、角度整合性、距離、面積の歪みが発生します。そこで、あまり大きな歪みが生じないように、世界を東西に経度 6度 の幅を持つ 60等分ゾーン に分割しています。 UTMゾーン には 1から60まで の番号が付けられており、 図 8.11 に示すように、 天底子午線 (西経180度の ゾーン1 )から始まり、東に戻って 天底子午線 (東経180度の ゾーン60 )まで進行するようになっています。

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図 8.11 ユニバーサル横メルカトルゾーン。南アフリカにはUTMゾーン33S、34S、35S、36Sが使用されています。

figure_utm_zones`と :numref:`figure_utm_for_sa にあるように、南アフリカは歪みを最小にするために4つの UTM ゾーン に覆われています。これらの ゾーン は、 UTM 33SUTM 34SUTM 35SUTM 36S と呼ばれています。ゾーンの後の S は、UTMゾーンが 赤道より南 に位置していることを意味します。

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図 8.12 UTMゾーンは、その中央経度(経絡)と33S、34S、35S、36Sとは、高い精度で南アフリカを投影するために使用されます。赤の十字は関心領域(AOI)を示します。

例えば、 図 8.12 の赤い十字で示された Area of Interest (AOI) 内の二次元座標を定義したいとしましょう。この領域は、 UTMゾーン35S 内に位置していることがわかります。つまり、歪みを最小限に抑え、正確な解析結果を得るためには、 UTMゾーン35S を座標参照系として使用する必要があるのです。

赤道より南のUTM座標の位置は、 ゾーン番号 (35)と、 北距(Y)値東距(X)値 をメートルで示さなければなりません。 北距値 は、 赤道 からの距離(メートル)です。 東距値 は、使用するUTMゾーンの 中央子午線 (経度)からの距離です。UTMゾーン35Sの場合、 図 8.12 に示すように 27度 East となります。さらに、赤道の南側であり、UTM座標参照系では負の値は許されないので、北緯(Y)の値には10,000,000mのいわゆる 疑似北距値 を、東経(X)の値には500,000mの疑似東距値を追加しなければなりません。難しそうなので、例として、 Area of Interest の正しい UTM 35S 座標を求める方法を説明します。

8.6.1. 北距(Y)値

探している場所は赤道から南355万メートルですので、北距(Y)の値には 負の符号 が付き-355万メートルです。UTMの定義に従い、1000万メートルの 偽の北距値 を追加する必要があります。ということは、座標の北距(Y)の値は645万メートル(-355 万メートル +1000万メートル)です。

8.6.2. 東距(X)値

まず、 UTMゾーン35S中心子午線 (経度)を求めなければなりません。 図 8.12 でわかるように、それは 東経27度 です。探している場所は、中心子午線から西に 85,000m のところです。北距値と同様に、東距値にも負の符号がつき、 -85,000 m という結果になります。UTMの定義によると、この座標の東方値は-85,000 m + 500,000 mの415,000 mとなります。最後に、正しい値を得るために、東距値に ゾーン番号 を追加する必要があります。

結果として、我々の 関心地点 の座標、 UTMゾーン35S に投影されるものは、このように記述されるでしょう: 35 415,000メートル東 /6,450,000メートル北 。GISによっては、正しいUTMゾーン35Sが定義されその座標系内で単位がメートルに設定されているとき、座標は単に 415,000 6,450,000 として現れる可能性があります。

8.7. 「その場で」投影

おそらく想像できるでしょうが、GISで使用するデータが異なる座標参照系に投影されている状況はありえます。たとえば、UTM 35Sで投影された南アフリカの国境を示すベクターレイヤーと、WGS 84地理座標系で与えられた降雨に関する地点情報のベクターレイヤーがあるとします。GISではこれら2つのベクターレイヤーは、投影が異なるので、地図ウィンドウ中で全く異なる領域に配置されます。

この問題を解決するために、多くのGISには オンザフライ 投影と呼ばれる機能が含まれています。つまり、GISを開始するときに特定の投影法を 定義 でき、ロードするすべてのレイヤーは、それらの座標参照系に関係なく、定義した投影法で自動的に表示されます。この機能を使用すると、 異なる 参照系にある場合でもGISの地図ウィンドウ内にレイヤをオーバーレイできます。 QGISではこの機能はデフォルトで適用されます。

8.8. 一般的な問題 / 注意すべき点

地図投影 の話題は非常に複雑であり、地理、測量、あるいはその他のGIS関連科学を研究している専門家ですら地図投影と基準座標系を正しく定義できないことがよくあります。GISで作業するときは通常、開始するデータをすでに投影しています。ほとんどの場合、これらのデータは、特定のCRSに投影されますので、新しいCRSを作成したり、そのデータをある CRSから別のCRSへ再投影する必要はありません。ですが、地図投影とCRSが意味することについて理解があるといつでも役に立ちます。

8.9. 何を学びましたか?

このワークシートで扱ったものをまとめてみましょう:

  • 地図投影 は紙またはコンピュータ画面の二次元の平面部分に地球の表面を描きます。

  • 全世界的な地図投影はありますが、ほとんどの地図投影は地球の表面の 小領域を投影するのに最適 なように作成されています。

  • 地図投影では、球形の地球を絶対的に正確な表現することは決してありません。それらは 正角性、距離および面積における歪み を示します。地図投影ですべてのこれらの特性を同時に保つことは不可能です。

  • 座標参照系 (CRS)は、座標の助けを借りて、二次元の投影図が地球の実位置にどう関係づけられるかを定義します。

  • 異なる2つの座標参照系があります。地理座標系投影座標系 です。

  • オンザフライ 投影は、別の座標参照系で投影されているレイヤを重ねることを可能にするGISの機能です。

8.10. やってみよう

ここでは人に教える際のアイデアをいくつか述べていきます:

  1. QGISを始める

  2. プロジェクト► プロパティ... ► CRSCRSなし(または未知/非地球) をチェックします

  3. 同じ面積で異なる投影法を持つ2つのレイヤを読み込む

  4. 生徒たちに、2つのレイヤ上のいくつかの場所の座標を見つけさせましょう。2つのレイヤを重ねることは不可能であることを示すことができます。

  5. 次に、 プロジェクトプロパティ ダイアログで、座標参照系を Geographic/WGS 84 として定義します

  6. 同じ区域の2つのレイヤを再度読み込み、プロジェクトのCRSの設定(つまり、「オンザフライ」投影を可能にする)がどのように機能するかを生徒たちに見せてください。

  7. QGISで プロジェクトのプロパティ ダイアログを開き、生徒にさまざまな座標参照系を見せれば、このトピックの複雑さを教えることができます。同じレイヤーを異なる投影で表示するために様々なCRSを選択できます。

8.11. 考えてみよう

利用できるコンピュータがない場合は、3つの地図投影の族の原則を生徒たちに見せることができます。球体と紙を取得し、円筒、円錐、平面の投影が一般的にどのように機能するかを示します。透明シートの助けを借りると、X軸とY軸を示す2次元の座標参照系を描くことができます。次に、生徒たちに異なる場所の座標(XとYの値)を定義させましょう。

8.12. より詳しく知りたい場合は

図書:

  • Chang, Kang-Tsung (2006). Introduction to Geographic Information Systems. 3rd Edition. McGraw Hill. ISBN: 0070658986

  • DeMers, Michael N. (2005). Fundamentals of Geographic Information Systems. 3rd Edition. Wiley. ISBN: 9814126195

  • Galati, Stephen R. (2006): Geographic Information Systems Demystified. Artech House Inc. ISBN: 158053533X

ウェブサイト:

QGISユーザーガイドでは,地図投影法の操作についてより詳細な情報が含まれています.

8.13. 次は?

続くセクションでは 地図投影法 について詳しく見ていきます。