7. トポロジ

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目的：

ベクターデータにおけるトポロジの理解

キーワード：

ベクター、トポロジ、トポロジルール、トポロジエラー、検索半径、スナップ距離、単純地物

7.1. 概要

トポロジ はGISにおけるベクターの地物（ポイント、ポリライン、ポリゴン）の接続または隣接のような空間的関係を表現したものです。トポロジデータまたはトポロジベースのデータはデジタル化エラー（例えば、 道路レイヤー内の２本のラインが交差点で完全に合っていない）を検出して修正するのに便利です。トポロジは、ネットワーク分析のような、ある種の空間分析を実行するのに必要です。

Imagine you travel to London. On a sightseeing tour you plan to visit St. Paul's Cathedral first and in the afternoon Covent Garden Market for some souvenirs. Looking at the Underground map of London (see 図 7.10) you have to find connecting trains to get from Covent Garden to St. Paul's. This requires topological information (data) about where it is possible to change trains. Looking at a map of the underground, the topological relationships are illustrated by circles that show connectivity.

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図 7.10 ロンドン地下鉄ネットワークのトポロジ。

7.2. トポロジエラー

There are different types of topological errors and they can be grouped according to whether the vector feature types are polygons or polylines. Topological errors with polygon features can include unclosed polygons, gaps between polygon borders or overlapping polygon borders. A common topological error with polyline features is that they do not meet perfectly at a point (node). This type of error is called an undershoot if a gap exists between the lines, and an overshoot if a line ends beyond the line it should connect to (see 図 7.11).

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図 7.11 お互いに接続する必要がある、デジタル化されたベクター線がまったく接触しないとき、アンダーシュート(1)が起きています。ラインが接続すべきラインを超えて終了した場合、オーバーシュート(2) が起きています。2つのポリゴンの頂点が境界上で一致しないとき、スライバ (3)が起きています。

オーバーシュートとアンダーシュートのエラーはいわゆるラインの端にある'ぶら下がりノード'です。ぶら下がりノードは、特別な場合、例えば、行き止まりの通りに接続されている場合には許容されます。

トポロジエラーは、地物間の関係を壊します。ネットワーク分析（例えば、道路ネットワークを介して最適なルートを見つける）または計測（例えば、川の長さを見つける）といった手順でベクターデータが分析できるようにするには、これらのエラーを修正する必要があります。トポロジがネットワーク分析と計測に有用であることに加えて、正しいトポロジでベクターデータを作成することが重要かつ有用である他の理由があります。ご自身の地域のために市町村界地図をデジタル化して、ポリゴンが重なっていたりスライバがあったりするとちょっと想像してみてください。このようなエラーが存在した場合、計測ツールは使用はできますが、得られる結果は不正確になります。どの市町村の面積も正しく知ることができませんし、市町村間の境界がどこにあるかも正確に定義できません。

位相的に正しいデータを作成し所有することは、自分の解析のために重要なだけでなく、データを渡される人々のためでもあります。データを渡された人はデータと分析結果が正しいことを期待するでしょう！

7.3. トポロジルール

幸いなことに、ベクター地物をデジタル化する場合に発生しうる多くの一般的なエラーは、多くのGISアプリケーションに実装されているトポロジルールで防止できます。

いくつかの特別なGISデータ形式を除いて、トポロジは、通常はデフォルトで適用されません。QGISのような多くの一般的なGISは、ベクターレイヤーに実装されるように、リレーションシップルールとしてトポロジを定義し、ユーザーがルールを選択できます。

次のリストは、ベクター地図の現実世界の地物がどのトポロジルールで定義されるかの例を示しています：

  • 市町村地図の領域の境界が重なり合っていてはいけません。

  • 市町村地図の領域の境界にギャップ（細長い隙間）があってはいけません。

  • 境界を示すポリゴンは閉じていないといけません。境界線のアンダーシュートやオーバーシュートは許可されません。

  • ベクターの線レイヤーにおいて等高線のラインはインターセクト（互いに交差）してはいけません。

7.4. トポロジのツール

Many GIS applications provide tools for topological editing. For example in QGIS you can enable topological editing to improve editing and maintaining common boundaries in polygon layers. A GIS such as QGIS 'detects' a shared boundary in a polygon map so you only have to move the edge vertex of one polygon boundary and QGIS will ensure the updating of the other polygon boundaries as shown in 図 7.12 (1).

Another topological option allows you to prevent** polygon overlaps** during digitising (see 図 7.12 (2)). If you already have one polygon, it is possible with this option to digitise a second adjacent polygon so that both polygons overlap and QGIS then clips the second polygon to the common boundary.

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図 7.12 （1）頂点を移動しているとき、共有の境界を検出するトポロジ的編集。頂点を移動しているときは、その頂点を共有するすべての地物が更新されます。（2）ポリゴンの重なりを回避するために、新たなポリゴンはデジタル化される（赤色で表示）とき、重なっている隣接する領域が重ならないようにクリップされます。

7.5. スナップ距離

Snapping distance is the distance a GIS uses to search for the closest vertex and / or segment you are trying to connect when you digitise. A segment is a straight line formed between two vertices in a polygon or polyline geometry. If you aren't within the snapping distance, a GIS such as QGIS will leave the vertex where you release the mouse button, instead of snapping it to an existing vertex and / or segment (see 図 7.13).

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図 7.13 各頂点やセグメントをスナップするために、スナップ距離（黒い円）は地図単位（例えば10進数の度）で定義されます。

7.6. 検索半径

検索半径は、地図をクリックしたときに、動かそうとしている最も近い頂点を検索するためにGISが使用する距離です。検索半径内にない場合、GISは地物編集用の頂点を検索・選択しません。原理的には、スナップ距離機能に極めて類似しています。

スナップ距離と検索半径は両方とも地図単位で設定されていますので、距離値を正しく設定するには試行錯誤する必要があるかもしれません。大きすぎる値を指定した場合、近くに密集した頂点を扱っている場合は特に、GISは間違った頂点にスナップします。小さすぎる検索半径を指定した場合、GISアプリケーションは移動または編集する地物または頂点を見つけることができません。

7.7. 一般的な問題 / 注意すべき点

トポロジを必要とするデータ分析（例えば、ネットワーク経由のルートを見つけるなど）のためでなく、主に簡単にするためおよび高速なレンダリングのために設計されています。多くのGISアプリケーションでは、トポロジ的なデータと単純な図形データを一緒に表示できます。両方とも作成、編集、および分析できるものもあります。

7.8. わかりましたか?

ここでは以下のことを学びました:

  • トポロジ は隣接するベクターの地物の空間的関係を示すものです。

  • GISでのトポロジは トポロジツール によって提供されます。

  • トポロジは デジタイズのエラーを検出し修正する ために利用されます。

  • ネットワーク分析 のように、 いくつかのツールではトポロジデータが必要不可欠です。

  • スナップ距離 と 検索半径 はトポロジ的に正しくベクターデータをデジタイズするのに役立ちます。

  • 単純地物 データは真のトポロジデータ・フォーマットではないが、GISアプリケーションで一般的に使われます。

7.9. やってみよう

ここでは人に教える際のアイデアをいくつか述べていきます:

  • トポシート地図であなたの地域のバス停に注目しましょう。すると２点のバス停間の最短ルートを見つけることができます。

  • あなたの町のトポロジ的道路網を表現するために、GISにベクター地物を作成する方法を考えます。どんなトポロジのルールが重要であり、どのようなツールをあなたの生徒たちがQGISで使用して、新しい道路レイヤーが位相的に正しいことを確認できるでしょうか？

7.10. 考えてみよう

利用可能なコンピュータがなくても、バスや鉄道の路線ネットワーク図を使用すれば、空間的な位置関係とトポロジについて生徒たちと議論できます。

7.11. より詳しく知りたい場合は

図書:

  • Chang, Kang-Tsung (2006). Introduction to Geographic Information Systems. 3rd Edition.（地理情報システムの紹介　第3版） McGraw Hill. ISBN: 0070658986

  • DeMers, Michael N. (2005). Fundamentals of Geographic Information Systems. 3rd Edition. （地理情報システムの基礎。第3版）Wiley. ISBN: 9814126195

ウェブサイト:

QGISユーザーガイドには QGISで提供されるトポロジ編集に関する詳細な情報があります。

7.12. 次は？

続くセクションでは、データを球体の地球から平らな地図へとどのように関連づけるかを理解するため、 座標参照系 についてさらに詳しく見ていきます。